Действительно ли существуют числа? Философия, история и формальное конструирование.

Главная » культура » Действительно ли существуют числа? Философия, история и формальное конструирование.

Когда мы используем цифры, чтобы определять время, расплачиваться в супермаркете или проверять баланс своего банковского счета, мы воспринимаем их как нечто само собой разумеющееся, как будто они так же реальны, как наши ключи от дома. Но если хорошенько подумать, все становится сложнее: В каком смысле числа действительно «существуют»?Мы их открываем, как планеты, или же придумываем, как персонажей романа?

Эта дискуссия удивительным образом сочетает в себе философию, историю и математику. На протяжении веков предлагались различные ответы: от тех, кто считает, что числа являются частью некоего «абстрактного мира», независимого от нас, до тех, кто утверждает, что они представляют собой не что иное, как... символические инструменты, которые мы создали для подсчета, измерения и рассуждения. Попутно встречаются такие идеи, как аксиомы Пеано, теория множеств, формальное построение натуральных, целых, рациональных, иррациональных и действительных чисел, и даже знаменитые ограничения, открытые Гёделем.

Что значит, что число «существует»?

Прежде чем углубляться в формулы и аксиомы, стоит уточнить, что же мы вообще подразумеваем под «существованием». Существование стола — это не то же самое, что существование Шерлока Холмса или существование... число, например, 24Стол — это физический объект; Холмс — вымышленный, но хорошо проработанный персонаж; стол же, напротив, не занимает места, ничего не весит и не может храниться в ящике.

Один из подходов к этому вопросу, восходящий к Платону, утверждает, что числа — это абстрактные сущности, обитающие в нефизической средеОни не состоят из материи, но они так же «реальны», как справедливость или красота в платоновской философии. С этой точки зрения, математики не изобретают числа, а открывают их: число 24 существовало, хотя никто и не догадался о его существовании.

Другие философы и математики утверждают обратное: числа предпочли бы символы и концептуальные конструкции, которые мы разрабатываем для моделирования мира. Они не существовали бы вне наших теорий и конвенций, хотя, как только эти правила будут установлены, математические результаты будут настолько жесткими, насколько нам захочется. В этом подходе число 24 является результатом системы символов и операций, о которых мы договорились, а не частью независимой математической вселенной.

Существуют также интересные промежуточные предложения: некоторые авторы утверждают, что число является своего рода абстрактный объект, обладающий своеобразным свойством: «если бы он мог существовать, он бы существовал».Иными словами, для того чтобы концепция имела определённый вид логического или математического существования, она должна быть лишь возможной и чётко определённой. Такой способ выражения позволяет нам включить в рассмотрение не только числа, но и множества, площади, функции, геометрические фигуры и многие другие объекты, которые мы ежедневно используем в математике.

С любой из этих точек зрения основная проблема схожа: Чем отличается существование числа от существования вымышленного персонажа?Все знают, что такое число 5, и все знают, кто такой Шерлок Холмс, но мы не приписываем им одинаковую степень реальности. Дискуссия, далекая от разрешения, обычно порождает больше вопросов, чем дает ответов.

Числа, символы и значение: что же на самом деле означает «2»?

Если отбросить все, что мы принимаем как должное, и взглянуть на цифры объективно, первое, что мы увидим, это: письменные символы или звуки при произнесенииЦифра «2», которую мы пишем на бумаге, «два», которую мы произносим вслух, или римская цифра «II» — это не само число, а его обозначения.

Сам по себе символ — это простой штрих или звук без содержания. Смысл ему придает коллективное согласие: Мы решили, что этот штрих обозначает количество, порядок, меру.Как и буквы алфавита, которые сами по себе ничего не значат, но в сочетании образуют слова, которые мы ассоциируем с идеями, вещами или действиями.

Этот символический взгляд раскрывает нечто важное: В конкретной форме чисел нет ничего «магического».Мы могли бы использовать совершенно другие символы, и пока мы будем придерживаться одних и тех же правил и значений, математика всё равно будет работать. В действительности, на протяжении истории существовало множество систем счисления с совершенно разными символами и правилами, и всё же все они служили для счёта, измерения и вычислений.

Однако повседневное использование чисел выходит далеко за рамки простого их записи: Сила чисел становится очевидной, когда мы начинаем с ними работать.Сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степени… Все эти операции позволяют нам моделировать реальные явления: от деления торта до разработки системы GPS-навигации или расчета дозы вакцины.

Именно потому, что математика лежит в основе почти всех современных технологий, математики были вынуждены, особенно начиная с XIX века, определить с максимальной точностью то, что они понимали под словом «число».Недостаточно было просто сказать: «Это то, что мы используем для подсчета»; требовалось формальное определение, чтобы избежать противоречий и позволить построить всю теорию с уверенностью.

Существует ли бесконечное число чисел, или это тоже не так очевидно?

Один из самых сложных вопросов при обсуждении существования чисел — это тема бесконечностиМы привыкли говорить, что существует бесконечно много натуральных чисел: 0, 1, 2, 3… и так далее. Но если мы примем это, возникнут некоторые любопытные вопросы.

Например: если мы представим себе «множество всех чисел» и захотим выбрать одно из них «случайным образом», какова вероятность получить число 5? Интуитивно мы могли бы сказать что-то вроде: 1, деленное на бесконечность, что кажется нулем.А если вероятность равна нулю, может возникнуть соблазн сказать, что число 5 «не встречается» в этом множестве, что звучит абсурдно, поскольку число 5 явно присутствует.

Этот тип рассуждений иллюстрирует столкновение между повседневными интуитивными представлениями о бесконечности и строгий способ рассмотрения вероятности и бесконечных множеств в математикеВ теории меры и теории вероятностей нулевая вероятность чего-либо не означает невозможность этого; это просто указывает на то, что в бесконечном континууме его «вес» пренебрежимо мал. Другими словами, представление о том, что «нулевая вероятность = не существует», неверно в математике.

Отсюда вытекает еще одно, более философское предположение: возможно, числа не «даны» как полная бесконечность, а скорее Мы создаём их шаг за шагом, продвигаясь без ограничений, но не достигая бесконечности.Иными словами, число потенциально может быть бесконечным (мы всегда можем прибавлять 1), но не будет "суммы" всех этих чисел как чего-то замкнутого.

Эта позиция связана с представлением о натуральных числах как об объектах, которые строятся последовательно (0, затем его преемник, затем преемник преемника и так далее), что приводит нас к знаменитому утверждению аксиомы Пеано Теория множеств как формальная основа современной математики.

От ничего до нуля: множества, пустое пространство и натуральные числа.

Для строгого построения натуральных чисел многие математики XIX века опирались на общий язык: Теория множествИдея на первый взгляд проста: мы работаем с «множествами» (коллекциями) и «элементами» (тем, что принадлежит этим коллекциям) и приводим несколько основных аксиом о том, как они себя ведут.

Одна из фундаментальных аксиом — это аксиома протяженности: Два множества равны, если они содержат совершенно одинаковые элементы.Другой способ, спецификация, позволяет нам формировать подмножества из условия: для заданного множества A и свойства T существует множество всех элементов множества A, удовлетворяющих условию T.

С помощью этих инструментов мы можем определить нечто ключевое: пустой наборЭто множество, не содержащее элементов. Его можно представить как множество всех x из A таких, что x ≠ x (невозможное условие), поэтому никто не входит в этот клуб. Это множество обычно называется 0 и становится краеугольным камнем формального построения натуральных чисел.

Отсюда мы можем «назвать» первые числа определенными множествами: пустое множество мы называем 0, множество, содержащее только 0, — 1, множество, содержащее и 0, и 1, — 2 и так далее. Каждое число строится как множество, которое объединяет ко всем вышеуказанным числамТакой способ кодирования натуральных чисел (подобный предложению Фреге, а позже и фон Неймана) позволяет связать порядок «меньше» с включением множеств.

Для дальнейшего продвижения нам необходима аксиома объединения: для заданной совокупности множеств существует множество, содержащее все элементы, принадлежащие хотя бы одному из них. Также мы определяем аксиому объединения. преемник множества А Поскольку A+ = A ∪ {A}. То есть, мы добавляем само множество в качестве нового элемента, что позволяет нам двигаться "вверх" число за числом.

Это вводит понятие набор преемниковМножество S является множеством-преемником, если оно содержит 0 и, если оно содержит элемент A, то также содержит его преемника A+. Ключевая аксиома гласит, что существует по крайней мере одно множество-преемник. Если мы возьмем пересечение всех возможных множеств-преемников, мы получим наименьшее множество, которое содержит их все: именно здесь множество-преемники «вложено». натуральные числа, ℕ.

Аксиомы Пеано: обеспечение того, что 1 + 1 = 2, не так уж и тривиально.

Как только мы определим ℕ как минимальное множество, содержащее 0 и устойчивое при последовательном изменении, мы сможем изучить его свойства. Джузеппе Пеано в конце XIX века сформулировал очень компактный список аксиом, который отражает сущность поведения натуральных чисел.

В типичной версии, начиная с 1 вместо 0, аксиомы Пеано в общих чертах формулируют следующее: во-первых, 1 — натуральное числоВо-вторых, каждое натуральное число имеет преемника, который также является натуральным числом. В-третьих, ни одно натуральное число не имеет 1 в качестве преемника (или, в другой формулировке, 0 не является преемником ни одного натурального числа). В-четвертых, если множество натуральных чисел содержит 1 и замкнуто последовательностью, то оно содержит все натуральные числа: это и есть принцип индукцииВ-пятых, если у двух чисел один и тот же следующий элемент, то эти два числа равны.

Эти аксиомы, хотя и кажутся формальными и несколько сухими, охватывают идеи, которые мы неосознанно используем с детства. Например, индукция позволяет нам доказывать свойства типа «все натуральные числа удовлетворяют X», доказывая, что X является допустимым для первого случая. И если это верно для одного числа, то это верно и для следующего. Это своего рода логический эффект домино.

Из этих аксиом выводятся основные свойства натуральных чисел, такие как, например, Не существует числа, следующим за которым является 0.или что операция «преемник» инъективна (если два числа имеют одного и того же преемника, то это одно и то же число). Они также позволяют нам охарактеризовать ℕ как единственное множество, удовлетворяющее определенным комбинированным условиям последовательности и индукции.

Самое интересное заключается в том, что, исходя из этой логической структуры и понятия преемника, можно строго построить обычные арифметические операции: сложение, умножение и возведение в степень, а также демонстрация их классических свойств (коммутативность, ассоциативность, существование нейтральных элементов и т. д.), не прибегая к аргументу «интуитивно так и есть».

Как построить сумму, произведение и степени над ℕ

Как только мы примем аксиомы Пеано и получим корректное определение множества ℕ, мы можем задаться вопросом: как именно мы определяем такие операции, как сложение, не принимая их за данность? Для этого мы используем очень мощный инструмент: Теорема о возвращениичто гарантирует существование и единственность определенных функций, заданных шаг за шагом на множестве натуральных чисел.

Идея заключается в следующем: если у нас есть множество X, начальный элемент a из X и функция f: X → X, то теорема гарантирует существование единственной функции u: ℕ → X такой, что u(0) = ayu(n+) = f(u(n)) для всех натуральных чисел n. То есть, мы можем построить u, многократно применяя f, начиная с a, и не будет двух различных способов сделать это, которые бы соответствовали этому определению.

Применив эту идею к натуральным числам, мы можем определить сумму фиксированного числа m с любым n. Возьмем X = ℕ, a = m и функцию s: ℕ → ℕ, которая отображает каждое число na на его последующее число n+. Тогда теорема о рекуррентности дает нам функцию S_m: ℕ → ℕ, где S_m(0) = m и S_m(n+) = s(S_m(n)). Мы интерпретируем эту функцию как сумма m + nТо есть мы определяем S_m(n) = m + n.

При таком формальном определении нечто столь распространенное, как 1 + 1, превращается в небольшую цепочку применений: 1 + 1 = S_1(1) = S_1(0+) = s(S_1(0)) = s(1) = 2Дело не в том, что математики не знают, что 1 + 1 равно 2, а в том, что они хотят обосновать, почему в рамках аксиоматической системы это равенство неизбежно.

Из этого определения можно доказать такие свойства, как то, что 0 выступает в качестве нейтрального элемента при сложении (m + 0 = my, 0 + m = m для всех m), что сложение является коммутативный (a + b = b + a) и это тоже ассоциативный ((a + b) + c = a + (b + c)). Все эти доказательства основаны на принципе индукции и поведении последователя.

Произведение определяется аналогично. Мы фиксируем число m, берем функцию P_m: ℕ → ℕ такую, что P_m(0) = 0 и P_m(n+) = S_m(P_m(n)). Мы интерпретируем P_m(n) как м × пТаким образом, например, произведение 1 × 2 разлагается как P_1(2) = P_1(1+) = S_1(P_1(1)) = S_1(1) = 2. Затем, снова используя индукцию, демонстрируются его свойства: коммутативность, ассоциативность и то, что 1 является нейтральным элементом произведения.

Степени строятся следующим образом: мы определяем E_m: ℕ → ℕ с E_m(0) = 1 и E_m(n+) = P_m(E_m(n)), и записываем E_m(n) = m^n. Из этого определения следует, что тождества, такие как m^(n + k) = m^n × m^k, опять же, с помощью принципа индукции и уже продемонстрированных свойств продукта.

Весь этот процесс, хотя и формальный и несколько технический, иллюстрирует, что здание элементарной арифметики не «висит в воздухе», а поддерживается чем-то само собой разумеющимся. Несколько очень четких аксиом и горстка логических аргументов.С этой точки зрения, «существование» натуральных чисел означает, что существует модель (например, множества, построенные из пустого множества), удовлетворяющая этим аксиомам.

От натуральных чисел до целых чисел, рациональных и иррациональных чисел.

После того как натуральные числа были окончательно установлены, история на этом не заканчивается. Повседневные и научные проблемы заставляют нас... расширить эту числовую вселеннуюНапример, в случае с натуральными числами мы умеем только считать и складывать, но не умеем вычитать или делить.

Следующим шагом обычно является введение нумерос энтерос, которые включают натуральные числа и их отрицательные аналоги: …, -2, -1, 0, 1, 2, … Исторически дроби существовали до отрицательных чисел, но с формальной точки зрения удобно начать с целых чисел. Целое число можно определить как класс эквивалентности пар натуральных чисел (a, b), где мы считаем две пары (a, b) и (c, d) эквивалентными, если a + d = b + c. Интуитивно это соответствует размышлению о вычесть из − b, хотя формально такое вычитание еще не существует в ℕ.

Затем рациональное числоОни соответствуют известным нам дробям. Они используются для измерения величин, не являющихся целыми числами единиц, таких как половина торта, треть литра или три четверти часа. Рациональное число обычно представляется как a/b, где a и b — целые числа, а b ≠ 0. Формально каждое рациональное число определяется как класс эквивалентности пар (a, b), где b не равно нулю, и две пары (a, b) и (c, d) эквивалентны, если a·d = b·cТо есть, если они составляют одинаковую пропорцию.

Пифагорейцы считали, что «всё есть число» в смысле «всё рационально», но эта точка зрения была разрушена, когда выяснилось, что диагональ квадрата со стороной длиной 1 (квадратный корень из 2) не может быть представлена ​​в виде дроби целых чисел. Позже также было показано, что π и e — иррациональные числа.То есть, их нельзя выразить как a/b с целыми числами a и b.

Для строгого построения иррациональные числа Это несколько деликатный способ. Элегантный способ сделать это — по телефону. Дедекинд делает срезыИдея заключается в рассмотрении определённых подмножеств рациональных чисел, имеющих определённую верхнюю границу. Например, мы можем взять множество всех рациональных чисел, квадрат которых меньше 2; его естественным «разделителем» является √2, которое не является рациональным числом. Таким образом, каждый подходящий разделитель можно рассматривать как действительное число, и некоторые из этих разделителей не соответствуют рациональным числам.

Объединив все рациональные числа и все эти ограничения, порождающие иррациональные числа, мы строим множество действительные числа, ℝВ ℝ содержатся все числа, которые мы используем для измерения непрерывных величин: длины, площади, времени, скорости и т. д. Внутри действительных чисел по-прежнему «вложены» натуральные, целые и рациональные числа, каждое со своей специфической интерпретацией.

Краткий обзор истории систем счисления

Вопрос о существовании чисел не только абстрактен; он также находит отражение в истории того, как разные культуры учились их определять. подсчет и запись количествСамые ранние свидетельства использования системы счисления относятся примерно к 7000 году до нашей эры; для простых подсчетов использовались метки и кости.

В Древнем Египте, во времена Первой династии, была разработана иероглифическая десятичная система счисления. Каждая степень числа десять имела свой собственный символ, и они были Они сгруппировали элементы по десяткам.Его использовали для решения практических задач, таких как расчет налогов, измерение сельскохозяйственных полей или строительство храмов.

В Месопотамии шумеры, а позже и вавилоняне, использовали шестидесятеричную систему счисления, то есть база 60Сложность этой системы заключалась в большом количестве символов и возможных комбинаций, но она оказалась чрезвычайно эффективной для астрономии и измерения времени. Фактически, мы до сих пор используем это наследие для измерения часов, минут и секунд.

Греки взяли за основу египетскую десятичную систему счисления и разработали систему, в которой они использовали буквы своего алфавита для представления чиселОднако аттическая система оказалась довольно жесткой и несколько ограничила развитие продвинутой арифметики, хотя греки блистали в геометрии и логических доказательствах.

В римской системе, более знакомой нам, определенным буквам (I, V, X, L, C, D, M) присваивались числовые значения. Хотя на первый взгляд она кажется проще других, Это не было связано с позицией.Это значительно затрудняло выполнение сложных вычислений. Для отображения пары дат на фасаде здания это вполне подходит, но для алгебры — уже не очень.

Параллельно, примерно в V веке до н.э., в Индии возникла десятичная и позиционная системы счисления. В этой системе значение каждой цифры зависит от её положения, и десять единиц одного порядка эквивалентны одной единице следующего более высокого порядка. Эта система, которая явно включала в себя ноль как числоЭто оказалось невероятно мощным и практичным решением.

Арабы, контактируя с такими культурами, как индуистская, греческая и египетская, переняли и распространили эту десятичную позиционную систему. Хотя мы говорим об «арабских цифрах», на самом деле Его происхождение связано с Индией.Именно исламские народы передали её в Европу, в том числе через Аль-Андалус. Со временем эта система вытеснила римские цифры и стала мировым стандартом.

В доколумбовой Америке цивилизация майя разработала чрезвычайно развитую числовую систему, основанную на числе 20 и позиционной системе счисления. Кроме того, они четко признавали ноль. Они представляли числа путем комбинирования. точки и полосыТочки обозначают единицы измерения, а полосы — группировку по пять. Его подход к календарю и астрономии отличался поразительной точностью.

Весь этот исторический обзор подкрепляет идею о том, что, хотя формы и правила меняются, Потребность считать, измерять и упорядочивать мир универсальна.Числа в различных своих воплощениях, кажется, снова и снова появляются везде, где существует цивилизация, стремящаяся систематизировать свой опыт взаимодействия с окружающей средой.

Пределы системы: Гёдель и вера в математику.

В конце XIX и начале XX веков многие математики стремились превратить математику в Совершенно прочное здание, свободное от противоречий.Идея заключалась в том, чтобы найти конечный набор основных аксиом, из которых все остальные математические результаты можно было бы вывести, используя чистую логику.

Такие деятели, как Анри Пуанкаре, были настроены скептически и считали эту амбицию недостижимой, в то время как другие, во главе с... Дэвид ХилбертОни были уверены, что можно создать совершенную аксиоматическую систему для арифметики и, как следствие, для остальных разделов математики.

Затем появился Курт Гёдель и доказал две теоремы, которые навсегда изменили ситуацию. Первая, значительно упрощая, гласит, что в любой системе, достаточно мощной, чтобы включать базовую арифметику (например, аксиомы Пеано), всегда будут существовать истинные утверждения, которые нельзя доказать в рамках самой системы. Другими словами: арифметика не может быть одновременно полной и непротиворечивой.

Вторая теорема Гёделя ещё более тревожна: она показывает, что если аксиоматическая система, подобная арифметической, непротиворечива (не содержит противоречий), то Такую согласованность невозможно продемонстрировать, исходя из самой системы.Если бы кто-то доказал отсутствие противоречий в арифметике, используя только её аксиомы и правила, это, парадоксально, означало бы, что система не является согласованной.

Эти выводы иногда интерпретируют как своего рода «космическую шутку»: если мы так сильно полагаемся на математику как на главный инструмент познания, мы должны признать, что в определенном смысле... Мы также должны верить в нечто, что мы не можем доказать в рамках самой математической модели.Для «существования» разумной арифметической системы, лишенной противоречий, требуется как минимум акт веры.

Если мы объединим весь этот путь — от символов и кости Ишанго, через Египет, Вавилон, Индию и майя, до теории множеств, аксиом Пеано, формальных построений различных типов чисел и теорем Гёделя — мы увидим, что числа одновременно являются и... человеческие инструменты и удивительно прочные конструкцииМожно спорить о том, «существуют» ли они как абстрактные сущности или как сложные условности, но ясно, что они формируют наше понимание Вселенной и в некотором смысле превосходят нас: даже если бы мы исчезли, трудно представить себе космос, в котором 1 + 1 перестало бы быть 2.